De quoi parlent les mathématiques ? (3)

C'est pourquoi peut-être que de là nous ne conclurons pas mal, si nous disons que la physique, l'astronomie, la médecine, et toutes les autres sciences qui dépendent de la considération des choses composées sont fort douteuses et incertaines ; mais que l'arithmétique, la géométrie, et les autres sciences de cette nature, qui ne traitent que de choses fort simples et fort générales, sans se mettre beaucoup en peine si elles sont dans la nature, ou si elles n'y sont pas, contiennent quelque chose de certain et d'indubitable. Car, soit que je veille ou que je dorme, deux et trois joints ensemble formeront toujours le nombre de cinq, et le carré n'aura jamais plus de quatre côtés ; et il ne semble pas possible que des vérités si apparentes puissent être soupçonnées d'aucune fausseté ou d'incertitude.

Descartes, Première méditation, Des choses que l'on peut révoquer en doute.

De quoi parlent les mathématiques ? (suite)

- Est-ce qu’il est vraiment si difficile, ce problème ?

- S’il est difficile ! Soupira Marinette. C’est bien simple. On n’y comprend rien.

- Si je savais de quoi il s’agit, dit le chien, j’aurais peut-être une idée.

- Je vais te lire l’énoncé proposa Delphine. «  Les bois de la commune ont une étendue de seize hectares. Sachant qu’un are est planté de trois chênes, de deux hêtres et d’un bouleau, combien les bois de la commune contiennet-ils d’arbres de chaque espèce » ?

- Je suis de votre avis, dis le chien, ce n’est pas un problème facile. […]

- C’est très simple, répondit la petite poule blanche, et je m’étonne que personne n’y ait pensé. Les bois de la commune sont tout près d’ici. Le seul moyen de savoir combien il y a de chênes, de hêtres et de bouleaux, c’est d’aller les compter. A nous tous, je suis sûre qu’il ne nous faudra pas plus d’une heure pour en venir à bout. […]

[La maîtresse :] Nous allons voir comment vous vous êtes tirées du problème des bois de la commune. Quelles sont celles d’entre vous qui l’ont fait ?

Delphine et Marinette furent seules à lever la main. Ayant jeté un coup d’œil sur leurs cahiers, la maîtresse eut une moue qui les inquiéta un peu. Elle paraissait douter que leur solution fût exacte.

- Voyons, dit-elle en passant au tableau, reprenons l’énoncé. Les bois de la commune ont une étendue de seize hectares…

Ayant expliqué aux élèves comment il fallait raisonner, elle fit les opérations au tableau et déclara :

- Les bois de la commune contiennent donc quatre mille huit cents chênes, trois mille deux cent hêtres et seize et treize cent bouleaux. Par conséquent, Delphine et Marinette se sont trompées. Elles auront une mauvaise note.

- Permettez, dit la petite poule blanche. J’en suis fâchée pour vous, mais c’est vous qui vous êtes trompée. Les bois de la commune contiennent trois mille neuf cent dix-huit chênes, douze cent quatorze hêtres et treize cent deux bouleaux. C’est ce que trouvent les petites.

- C’est absurde protesta la maîtresse. Il ne peut y avoir plus de bouleaux que de hêtres. Reprenons le raisonnement…

- Il n’y a pas de raisonnement qui tienne. Les bois de la commune contiennent bien treize cent deux bouleaux. Nous avons passé l’après-midi d’hier à les compter. Est-ce vrai, vous autres ?

- C’est vrai, affirmèrent le chien, le cheval et le cochon.

- J’étais là, dit le sanglier. Les arbres ont été comptés deux fois.

La maîtresse essaya de faire comprendre aux bêtes que les bois de la commune, dont il était question dans l’énoncé, ne correspondait à rien de réel, mais la petite poule blanche se fâcha et ses compagnons commençaient à être de mauvaise humeur. « Si l’on ne pouvait se fier à l’énoncé, disaient-ils, le problème lui-même n’avait plus aucun sens. La maîtresse leur déclara qu’ils étaient stupides. […]

                                                                Marcel Aymé, Les contes du chat perché , « Le problème », Gallimard (1934 à 1946).

De quoi parlent les mathématiques ?

Descartes : Faut-il douter de tout ?

Ce n’est pas d’aujourd’hui que je me suis aperçu que, dès mes premières années, j’ai reçu quantité de fausses opinions pour véritables, et que ce que j’ai depuis fondé sur des principes si mal assurés ne saurait être que fort douteux et incertain; et dès lors j’ai bien jugé qu’il me fallait entreprendre sérieusement une fois en ma vie de me défaire de toutes les opinions que j’avais reçues auparavant en ma créance, et commencer tout de nouveau dès les fondements, si je voulais établir quelque chose de ferme et de constant dans les sciences. Mais cette entreprise me semblant être fort grande, j'ai attendu que j'eusse atteint un âge qui fût si mûr, que je n'en pusse espérer d'autre après lui, auquel je fusse plus propre à l'exécuter ; ce qui m'a fait différer si longtemps, que désormais je croirais commettre une faute, si j'employais encore à délibérer le temps qu'il me reste pour agir. Maintenant donc que mon esprit est libre de tous soins, et que je me suis procuré un repos assuré dans une paisible solitude, je m'appliquerai sérieusement et avec liberté à détruire généralement toutes mes anciennes opinions.

Or il ne sera pas nécessaire, pour arriver à ce dessein, de prouver qu'elles sont toutes fausses, de quoi peut-être je ne viendrais jamais à bout ; mais, d'autant que la raison me persuade déjà que je ne dois pas moins soigneusement m'empêcher de donner créance aux choses qui ne sont pas entièrement certaines et indubitables, qu'à celles qui nous paraissent manifestement être fausses, le moindre sujet de douter que j'y trouverai, suffira pour me les faire toutes rejeter. Et pour cela il n'est pas besoin que je les examine chacune en particulier, ce qui serait d'un travail infini ; mais, parce que la ruine des fondements entraîne nécessairement avec soi tout le reste de l'édifice, je m'attaquerai d'abord aux principes, sur lesquels toutes mes anciennes opinions étaient appuyées.

                                                                          Descartes,  PREMIÈRE MÉDITATION, DES CHOSES QUE L'ON PEUT RÉVOQUER EN DOUTE (extrait).
Texte intégral (1ère méditation)